Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)b_n=a_n-1，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)x=是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得出f（）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）從而構(gòu)造出即可證明{a _n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（II）由（I）得{a _n+1-a_n}是等比數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：a _n+1-a_n=2ⁿ   利用數(shù)列求得即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（III）由（II）得b_n=2ⁿ-1結(jié)合拆項(xiàng)利用拆項(xiàng)法求和Sn，最后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證明．
解答：解：（I）∵x=是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f（）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）…（2分）

∴{a _n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（I）{a _n+1-a_n}是等比數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，∴a _n+1-a_n=2ⁿ   …（6分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a _n-1）=2+2¹+…+2 ^n-1=2ⁿ    …（9分）
（III）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1∵…（11分）
∴Sn=++…+
=1-，n越大，Sn越大，且當(dāng)n=1時(shí)，Sn=
∴…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．