Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且S_n+1=4a_n+2（n∈N*），a₁=1
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求出它的通項公式．
（2）設(shè)C_n=

an

2n

（n∈N*），求證：{c_n}是等差數(shù)列，并求出它的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2兩式作差得：構(gòu)造a_n+1-2a_n從而得證；
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1兩邊同除以2ⁿ⁺¹構(gòu)造

an

2n

得證．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時
由S_n+1=4a_n+2可得：
S_n=4a_n-1+2
兩式作差得：
a_n+1=4a_n-4a_n-1
可轉(zhuǎn)化為：
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又a₃-2a₂=2（a₂-2a₁）
∴b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），{b_n}是等比數(shù)列
b_n=3×2^n-1
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1
兩邊同除以2ⁿ⁺¹得：

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴{c_n}是等差數(shù)列
C_n=

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)

點評：本題主要通過通項和前n項和來考查把一般數(shù)列通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的能力．