Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M、H分別為A₁D₁、CC₁、AB、DB₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ACD₁；
（2）求證：MH⊥B₁C；
（3）在棱BB₁上是否存在一點P，使得二面角P-AC-B的大小為30°？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體且邊長為2，并且E、F、M、H分別為A₁D₁、CC₁、AB、DB₁的中點，利用正方體的性質及要證明的問題可以取AA₁的中點G，連接GF，則GF∥AC，在利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）由題意可以連接AC₁，，由于H為可以得到為AC₁的中點，連接BC₁，設BC₁交B₁C于點O，在正方形中利用正方形的性質即可得到BC₁⊥B₁C，而MH∥BC₁所以可以得到MH⊥B₁C；
（3）由題意可以建立分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，寫出各點的坐標，進而求出所要求解的平面的法向量，利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關系即可求出二面角P-AC-B的大�。�

解答：解：（1）取AA₁的中點G，連接GF，則GF∥AC，
連接GE取AA₁的中點G，連接GF，則GF∥AC，
則GE∥AD₁，
∴平面ACD₁∥平面GFE．
又∵EF?平面GFE，
∴EF∥平面ACD₁．
（2）連接AC₁，
∵H為DB₁的中點，
∴H為AC₁的中點，連接BC₁，設BC₁交B₁C于點O，
∵M為AB的中點，
∴MH∥BC₁．
在正方形BCC₁B₁中，BC₁⊥B₁C，
∴MH⊥B₁C．
（3）如圖，分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則由已知得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2）．
設點P（2，2，t）（0＜t≤2），
平面ACP的一個法向量為n=（x，y，z），則

n• AC=0 n• AP =0

．
∵

AC

=（-2，2，0），

AP

=（0，2，t），
∴

-2x+2y=0 2y+tz=0

，取n=（1，1，-

2

t

）．
易知平面ABC的一個法向量為

B1B

=（0，0，2），
假設P點存在，使得二面角P-AC-B的大小為θ=30°，
則cosθ=|cos＜

BB1

，n＞|=

|- 4 t |

2× 2+ 4 t2

=

3

2

，
即

4

t2

=

3

4

（2+

4

t2

），解得t=

6

3

．
∴

6

3

∈（0，2]，∴在棱BB₁上存在一點P，當BP的長為

6

3

時，二面角P-AC-B的大小為30°．

點評：（1）此問考查了正方形及正方體的基本性質，還考查了線面平行的判定定理，及學生的空間想象能力；
（2）此問考查了正方形的性質及兩條直線所成角的概念；
（3）此問考查了利用空間想象能力及利用二面角的大小與平面的法向量的夾角之間的關系求解二面角的方法．