Question

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球．現(xiàn)在從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．
（I）求取出的4個(gè)球均為黑色球的概率；
（II）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；
（III）設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（I）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球”為事件A，
“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨎．
∵事件A，B相互獨(dú)立，
且．
∴取出的4個(gè)球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=．

（II）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅紅，1個(gè)是黑球”為事件C，
“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D．
∵事件C，D互斥，
且．
∴取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=．

（III）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．
由（I），（II）得，
又，
從而P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=．
ξ的分布列為

ξ的數(shù)學(xué)期望．
分析：（1）取出的4個(gè)球均為黑色球包括從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球且從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇�，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（2）取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球表示從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅紅，1個(gè)是黑球或從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球兩種情況，它們是互斥的．
（3）ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則ξ可能的取值為0，1，2，3．結(jié)合前兩問的解法得到結(jié)果，寫出分布列和期望．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．