Question

設p為橢圓等

x2

m

+

y2

24

=1（m≥32）上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該橢圓的兩個焦點，若cos∠F₁PF₂=

5

13

則△PF₁F₂的面積是（　�。�

A．48

B．16

C．32

D．與m有關的值

Answer 1

分析：由題意橢圓焦點在x軸上，可得2a=2

m

且c²=m+24．△F₁PF₂中利用余弦定理，結合題中的數(shù)據(jù)算出F₁P•PF₂=

104

3

，由同角三角函數(shù)的平方關系算出sin∠F₁PF₂=

12

13

，最后用正弦定理的面積公式即可算出△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵m≥32，可得橢圓的焦點在x軸上
∴長軸2a=2

m

，c²=m+24
∵△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

5

13

∴|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2F₁P•PF₂cos∠F₁PF₂，
即4c²=（|F₁P|+|PF₂|）²-2F₁P•PF₂（1+cos∠F₁PF₂）
可得4c²=4a²-2F₁P•PF₂（1+

5

13

），得

18

13

F₁P•PF₂=2a²-2c²=2b²=48
∴F₁P•PF₂=

104

3

∵sin∠F₁PF₂=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴由正弦定理，得△PF₁F₂的面積為
S_△ PF1F2=

1

2

F₁P•PF₂sin∠F₁PF₂=

1

2

×

104

3

×

12

13

=16
故選：B

點評：本題給出短軸已知的橢圓方程，求橢圓上滿足∠F₁PF₂為定值的焦點三角形的面積，著重考查了橢圓的定義與標準方程、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．