Question

若函數(shù)y=x³-

3

2

x²+a在[-1，1]上有最大值3，則該函數(shù)在[-1，1]上的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本題是典型的利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值的問題，只需要利用已知函數(shù)的最大值為3，進(jìn)而求出常數(shù)a的值，即可求出函數(shù)的最小值．

解答：解：由已知，f′（x）=3x²-3x，有3x²-3x≥0得x≥1或x≤0，
因此當(dāng)x∈[1，+∞），（-∞，0]時(shí)f（x）為增函數(shù)，在x∈[0，1]時(shí)f（x）為減函數(shù)，
又因?yàn)閤∈[-1，1]，
所以得當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）為增函數(shù)，在x∈[0，1]時(shí)f（x）為減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=x³-

3

2

x²+3
所以f（-1）=

1

2

，f（1）=

5

2

因?yàn)閒（-1）=

1

2

＜f（1）=

5

2

，所以函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題．