Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，則稱常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“翔宇一品數(shù)”．若已知函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，則f（x）在[1，3]上的“翔宇一品數(shù)”是

1

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，則稱常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“翔宇一品數(shù)”．根據(jù)函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，為單調(diào)減函數(shù)，可得f（x）在[1，3]上的“翔宇一品數(shù)”是其最大值和最小值的幾何平均數(shù)．

解答：解：由已知中翔宇一品數(shù)的定義可得C即為函數(shù)y=f（x），x∈D最大值與最小值的幾何平均數(shù)
又∵函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]為減函數(shù)
故其最大值M=

1

2

，最小值m=(

1

2

)3
故C=

1 2 •( 1 2 )3

=

1

4

故答案為

1

4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知判斷出C等于函數(shù)在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．