Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）當(dāng)n≥2時，求證：＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得，由此可以求出a_n=n²2ⁿ．
（2）．=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，再用錯位相減法可求出=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（3）當(dāng)n≥2時，==＜=．由此入手可證出＜．
解答：解：（1）由已知，得，∴是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁=2．
∴，a_n=n²2ⁿ．（6分）
（2）．=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①
2=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）
（3）當(dāng)n≥2時，==＜=．
∴==
=＜．（18分）
點(diǎn)評：本題問題敘述簡捷，形式優(yōu)美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的形式美、內(nèi)在美．
第（1）問，也可采用迭代法來完成，理科生還可使用數(shù)學(xué)歸納法來實(shí)施．
第（2）問，仍作為壓軸問題，旨在強(qiáng)調(diào)數(shù)列中的一些重要方法．
第（3）問，若將結(jié)論減弱為＜．則所提供的解法中，只須保留原來的兩項(xiàng)，或者也可以直接將，從第3項(xiàng)起，放大為．