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        1. 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2,BB1=3,D為A1C1的中點,E為B1C的中點.
          (1)求直線BE與A1C所成的角的余弦;
          (2)在線段AA1上取一點F,問AF為何值時,CF⊥平面B1DF?

          【答案】分析:(1)以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,用坐標表示點,進而可表示向量,利用向量的數(shù)量積可求直線BE與A1C所成的角的余弦;
          (2)要使得CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F,由=0可建立方程,從而得解.
          解答:解:(1)因為直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥面ABC,∠ABC=
          以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系,…(2分)
          因為AC=2,∠ABC=90°,所以AB=BC=,
          從而B(0,0,0),A(,0,0),C(0,,0),
          B1(0,0,3),A1,0,3),C1(0,,3),D(,,3),E(0,).
          所以
          ,且
          所以cosθ=…(5分)
          所以直線BE與A1C所成的角的余弦為.…(6分)
          (2)設AF=x,則F(,0,x),,,…(8分)
          ,
          所以,…(9分)
          要使得CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F,由=2+x(x-3)=0,有x=1或x=2,…(11分)
          故當AF=1,或AF=21時,CF⊥平面B1DF.…(12分)
          點評:本題的考點是用空間向量求直線間的夾角與距離,主要考查線線角及線面垂直問題,關鍵是構(gòu)建空間直角坐標系,利用向量的數(shù)量積求解.
          練習冊系列答案
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          2
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          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點,E為B1C的中點.
          (1)求直線BE與A1C所成的角;
          (2)在線段AA1中上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
          AF
          |;若不存在,說明理由.

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          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點.
          (Ⅰ)求線段MN的長;
          (Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1;
          (Ⅲ)線段CC1上是否存在點Q,使A1B⊥平面MNQ?說明理由.

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          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點.
          (Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
          (Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大;
          (Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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