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        1. 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2,BB1=3,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
          (1)求直線BE與A1C所成的角的余弦;
          (2)在線段AA1上取一點(diǎn)F,問AF為何值時(shí),CF⊥平面B1DF?

          【答案】分析:(1)以B點(diǎn)為原點(diǎn),BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn),進(jìn)而可表示向量,利用向量的數(shù)量積可求直線BE與A1C所成的角的余弦;
          (2)要使得CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F,由=0可建立方程,從而得解.
          解答:解:(1)因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中,BB1⊥面ABC,∠ABC=
          以B點(diǎn)為原點(diǎn),BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,…(2分)
          因?yàn)锳C=2,∠ABC=90°,所以AB=BC=
          從而B(0,0,0),A(,0,0),C(0,,0),
          B1(0,0,3),A1,0,3),C1(0,,3),D(,,3),E(0,).
          所以,
          ,且
          所以cosθ=…(5分)
          所以直線BE與A1C所成的角的余弦為.…(6分)
          (2)設(shè)AF=x,則F(,0,x),,,…(8分)
          ,
          所以,…(9分)
          要使得CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F,由=2+x(x-3)=0,有x=1或x=2,…(11分)
          故當(dāng)AF=1,或AF=21時(shí),CF⊥平面B1DF.…(12分)
          點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是用空間向量求直線間的夾角與距離,主要考查線線角及線面垂直問題,關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,利用向量的數(shù)量積求解.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
          2
          ,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交于點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)為M,求證:CD⊥平面BDM.

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          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
          (1)求直線BE與A1C所成的角;
          (2)在線段AA1中上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
          AF
          |;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求線段MN的長;
          (Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1
          (Ⅲ)線段CC1上是否存在點(diǎn)Q,使A1B⊥平面MNQ?說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
          (Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大;
          (Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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          同步練習(xí)冊答案