Question

在四棱錐中，，，平面，為 的中點，．

(1)求四棱錐的體積；
(2)若為的中點，求證：平面平面；
(3)求二面角的大�。�

Answer 1

1）解：在中，，，∴，……1分
在中，，，∴，…………2分
∴…………3分
則…………………………………………4分
（2）解法一∵平面，∴…………………………5分
又， ，  …………………………6分
∴平面………………………7分    
∵、分別為、中點，
∴   ∴平面………………………8分
∵平面，∴平面平面……9分

（3）解法一：取的中點，連結(jié)，則，
∴平面，過作于，連接，…10分
∵AC，，且，∴…11分
則為二面角的平面角。  ……12分
∵為的中點，，，
∴，又，  ……13分
∴，故
即二面角的大小為30⁰……………14分
（2）解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz    ………………5分

A（0,0,0）   B（1,0,0）     
      ……6分
，， …7分
設(shè)平面AEF的一個法向量為
由 取，得x=1，即   …8分
又平面PAC的一個法向量為  ……9分
    ∴平面平面   ……10分
（3）解法二：易知平面ACD的一個法向量為  ……11分
設(shè)平面AEF的一個法向量為
由，取，得,…12分
  ……13分
∴結(jié)合圖形知二面角的大小為30⁰……………14分

本題考查用分割法求出棱錐的底面積，直線與平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．
（Ⅰ）把四邊形面積分成2個直角三角形面積之和，代入棱錐體積公式進行計算．
（Ⅱ）先證 CD⊥平面PAC，由三角形中位線的性質(zhì)得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，從而證得平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅲ）由三垂線定理作出∠EQM為二面角E-AC-D的平面角，并證明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大�。�