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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          已知數學公式，
          （Ⅰ）若函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區(qū)間，求實數a的取值范圍；
          （Ⅱ）當a=-1時，求證：x≤eg（x）-2在數學公式成立
          （Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當n＞2，n∈N*時，數學公式（e為自然對數lnx的底數）
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				（Ⅰ）解：函數
          所以在（0，+∞）上有解，
          即ax2+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，由ax2+3x-1＞0得
          因為當x＞0，
          所以a的范圍是…（4分）
          （Ⅱ）證明：原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構造函數φ（x）=f（x）-g（x）+2
          ∴∴，
          ∴對于恒成立，
          ∴φ（x）單調遞增
          ∴=
          ∴f（x）＜g（x）-2
          ∴x≤eg（x）-2在成立，原不等式得證            …（9分）
          （Ⅲ）解：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
          ∴
          所以函數m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
          所以m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1
          證明：由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x
          ∴，
          ∴=…（14分）
          分析：（Ⅰ）函數，函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區(qū)間，等價于在（0，+∞）上有解，即ax2+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，再利用分離參數法，即可求得a的范圍；
          （Ⅱ）原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構造函數φ（x）=f（x）-g（x）+2，可確定φ（x）單調遞增，從而原不等式得證；
          （Ⅲ）根據，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，利用導數可知函數m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，從而可得f（x）-x的最大值為-1，進而可得lnx≤-1+x，再利用放縮法即可證得．
          點評：本題重點考查導數知識的運用，考查利用導數研究函數的單調性，證明不等式，考查放縮法的運用，綜合性比較強．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知
          a
          =(1-cosx，2sin
          x
          2
          )，
          b
          =(1+cosx，2cos
          x
          2
          )          ，設f(x)=2+sinx-
          1
          4
          |
          a
          -
          b
          |2          ．
          （Ⅰ）求f（x）的表達式；
          （Ⅱ）若函數g（x）和函數f（x）的圖象關于原點對稱，
          （�。┣蠛瘮礸（x）的解析式；
          （ⅱ）若函數h（x）=g（x）-λf（x）+1在區(qū)間[-
          π
          2
          ，
          π
          2
          ]          上是增函數，求實數λ的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f（x）=
          13
          x3+ax2（常數a∈R）．
          （1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
          （2）若函數h（x）=f（x）+16x+8在x∈[2，+∞） 時為增函數，求a的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f（x）=lnx+x，g（x）=ax2（a≠0）
          （1）若a=1，求函數H（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
          （2）若函數H（x）=f（x）-g（x）在其定義域上不單調，求實數a的取值范圍；
          （3）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數a的值并求點P的坐標．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f（x）=x2-2ax，x∈[-1，1]
          （1）若函數f（x）的最小值為g（a），求g（a）；
          （2）判斷并證明函數g（x）的奇偶性；
          （3）若函數h（x）=g（x）-x-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
          （1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其單調性（無需證明）．
          （2）求使f（x）＜0的x取值范圍．
          （3）設h-1（x）是h（x）=log2x的反函數，若存在唯一的x使
          1-h-1(x)1+h-1(x)
          =m-2x          成立，求m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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