Question

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2（n-1）、bn=(

1

2

)n，（其中n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和；
（2）求數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足cn=

bn，(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)) an．(當(dāng)n為偶數(shù)時(shí))

，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以欲求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和，只需找到首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可．
（2）數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和，就是前n項(xiàng)和的極限，可用公式S=

a1

1-q

表示，所以只需求出等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)與公比，代入無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式即可．
（3）按照n是奇數(shù)還是偶數(shù)討論，n是奇數(shù)時(shí)，用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求和，n是偶數(shù)時(shí)，用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求和．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為S_n，則Sn=

n(0+2n-2)

2

=n2-n．     
（2）公比|q|=

1

2

＜1，所以由無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和為

1 2

1- 1 2

=1．   
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=b₁+a₂+b₃+…+a_n-1+b_n=

2

3

(1-(

1

4

)

n+1

2

)+

(n-1)2

2

；  
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=b₁+a₂+b₃+…+b_n-1+a_n=

2

3

(1-(

1

4

)

n

2

)+

n2

2

．    
即Tn=

- 2 3 ( 1 2 )(n+1)+ (n-1)2 2 + 2 3 ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) - 2 3 ( 1 2 )n+ n2 2 + 2 3 ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．屬于數(shù)列的常規(guī)題．