Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ax+1，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x） 在區(qū)間[-3，2]上的值域；
（2）若f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）先配方f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，可知函數(shù)f（x）在[-3，-1]上遞減，在[-1，2]上遞增，從而可求f（x） 在區(qū)間[-3，2]上的值域；
（2）由于二次函數(shù)的最值與圖象的開口方向、對(duì)稱軸及區(qū)間有關(guān)，故要進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a＞0時(shí)，因?qū)ΨQ軸為x=-1，f（2）=4；②當(dāng)a＜0時(shí)，因?qū)ΨQ軸為x=-1，f（-1）=4；③當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1，不成立．故可求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（1）f（x）=x²+2x+1=（x+1）²
∴函數(shù)f（x）在[-3，-1]上遞減，在[-1，2]上遞增，
所以y_min=f（-1）=0，y_max=f（2）=9，
所以f（x） 在區(qū)間[-3，2]上的值域?yàn)閇0，9]．
（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，因?qū)ΨQ軸為x=-1，f（2）=4，得a=

3

8

．
②當(dāng)a＜0時(shí)，因?qū)ΨQ軸為x=-1，f（-1）=4，得a=-3．
③當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1，不成立．
由①②③得a=

3

8

或a=-3

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的值域與最值，解題的關(guān)鍵是正確配方，合理分類．