Question

已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，．

(Ⅰ)求表達(dá)式；

(Ⅱ)若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)試討論當(dāng)實數(shù)滿足什么條件時，直線的圖像恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上．（不要求過程）

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)．;(Ⅱ)．  (Ⅲ)．當(dāng)時，或

當(dāng)時，  此時; 當(dāng)時，，或

當(dāng)時此時．

【解析】

試題分析：（1）由為偶函數(shù)，則有，又因為當(dāng)，及，，所以當(dāng)時，，即可求出 ．當(dāng)時，同理可求出此時的．（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當(dāng)時，函數(shù)與恰有兩個交點，所以當(dāng)時，函數(shù)與無交點，易得當(dāng)時恒成立，當(dāng)時，則有，即可求出．

當(dāng)，時，函數(shù)的圖像如圖2所示，此時直線的圖像若恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上，則易知時符合題意，設(shè)時由左到右的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，由函數(shù)的對稱性易知，，此時．其他情況同理即可求出．

                   圖1                              圖2

試題解析：（1）為偶函數(shù)，則有．

當(dāng)時，，即

當(dāng)時，，，即，故有

（2）如下圖，當(dāng)時，由圖像易知函數(shù)與恰有兩個交點，當(dāng)時，函數(shù)與無交點．由，．

當(dāng)時，此時符合題意；

當(dāng)時，由，即，可得．由偶函數(shù)的對稱性可知時，與時的情況相同．

故綜上：

（3）當(dāng)時，或；

當(dāng)時，  此時；

當(dāng)時，，或；

當(dāng)時此時．

考點：1．函數(shù)的奇偶性 2．分段函數(shù)解析式的求解 3．二次函數(shù)的圖像．