Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和
（Ⅰ）求點P的軌跡C；
（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，要求動點的軌跡方程，由于已經告訴了動點所滿足的約束條件所以利用直接法求其軌跡即可：
（2）由題意及解析式畫出圖形，利用直線與曲線的軌跡方程聯(lián)立，通過圖形討論直線與軌跡的交點，利用兩點間的距離公式求解即可．
解答：解（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），由題設則3︳x-2︳①由題意軌跡圖（1）如下：
（圖1）
當x＞2時，由①得，
化簡得．
當x≤2時由①得
化簡得y²=12x
故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側
部分與拋物線C₂：y²=12x在直線
x=2的左側部分（包括它與直線x=2
的交點）所組成的曲線，參見圖1
（Ⅱ）如圖2所示，
易知直線x=2與C₁，C₂的交點都是A（2，），
B（2，），直線AF，BF的斜
率分別為k_AF=，k_BF=．                       圖2
當點P在C₁上時，由②知．④
當點P在C₂上時，由③知|PF|=3+x⑤
若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3）
（1）當k≤k_AF，或k≥k_BF，即k≤-2時，直線I與軌跡C的兩個交點M（x₁，y₁），N（，）都在C₁上，此時由④知
|MF|=6-x₁|NF|=6-
從而|MN|=|MF|+|NF|=（6-x₁）+（6-）=12-（x₁+）
由得（3+4k²）x²-24k²x+36k²-108=0則x₁，x是這個方程的兩根，
所以x₁+=*|MN|=12-（x₁+）=12-
因為當，或時，k²≥24，．
當且僅當時，等號成立．
（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分別在C₁，C₂上，不妨設點M在C₁上，點C₂上，則④⑤知，
設直線AF與橢圓C₁的另一交點為E（x，y），則x＜x₁，x₂＜2.
所以|MN|=|MF|+|NF|＜|EF|+|AF|=|AE|．而點A，E都在C₁上，且，有（1）知
若直線ι的斜率不存在，則x₁=x₂=3，此時
綜上所述，線段MN長度的最大值為．
點評：（1）此問重點考查了直接法求動點的軌跡方程，還考查了對于含絕對值的式子化簡時的討論；
（2）此問重點考查了利用圖形抓住題目中的信息，分類討論的思想，還考查了圓錐曲線中的焦半徑公式（用點的一個坐標表示），還考查了兩點間的距離公式．