Question

如圖，摩天輪的半徑為50m，圓心O點距地面的高度為60m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時點P距離地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）求在2006min時點P距離地面的高度；
（2）求證：不論t為何值時f（t）+f（t+1）+f（t+2）為定值．

Answer 1

分析：（1）由實際問題求出三角函數中的參數A，h，及周期T，利用三角函數的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（t），將t用2006代替求出2006min時點P距離地面的高度
（2）將t，t+1，t+2代入函數解析式，利用兩角和的公式將三角函數式展開，求出值．

解答：解：（1）由題意可知：A=50，h=60，T=3，∴ω=

2

3

π，
即f(t)=50sin(

2

3

πt+?)+60．
又∵f(0)=10，故?=-

π

2

．∴f(t)=50sin(

2

3

πt-

π

2

)+60，
得f（2006）=85．即點P距離地面的高度為85m．
（2）由（1）知f(t)=50sin(

2

3

πt-

π

2

)+60=60-50cos

2

3

πt．
∴f（t）+f（t+1）+f（t+2）=60-50cos

2

3

πt+60-50cos

2

3

π(t+1)+60-50cos

2

3

π(t+2)
=180-50[cos

2

3

πt+cos(

2

3

πt+

2

3

π)+cos(

2

3

πt+

4

3

π)]=180-50[cos

2π

3

t+(-

1

2

)cos

2π

3

t-

3

2

sin

2πt

3

+(-

1

2

)cos

2π

3

t-(-

3

2

)sin

2π

3

t]
=180
故不論t為何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定值．

點評：本題考查通過實際問題得到三角函數的性質，由性質求三角函數的解析式；考查兩角和的正弦公式．