【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=
,求△ABC的面積.
【答案】(1)A=60°;(2)
【解析】
(1)利用正弦定理,把邊化為角,結合輔助角公式可求;
(2)利用三角形內(nèi)角關系求出,結合正弦定理求出
關系,利用余弦定理可求
.
(1)acos C+asin C-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+
sin Asin C=sin B+sin C,
即sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,
又sin C≠0,所以化簡得sin A-cos A=1,所以sin(A-30°)=
.
在△ABC中,0°<A<180°,所以A-30°=30°,得A=60°.
(2)在△ABC中,因為cos B=,所以sin B=
.
所以sin C=sin(A+B)=×
+
×
=
.
由正弦定理得,.
設a=7x,c=5x(x>0),則在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,
即=25x2+
×49x2-2×5x×
×7x×
,解得x=1,所以a=7,c=5,
故S△ABC=acsin B=10
.
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【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為
,
,上下頂點分別為
,
,左、右焦點分別為
,
,離心率為e.
(1)若,設四邊形
的面積為
,四邊形
的面積為
,且
,求橢圓C的方程;
(2)若,設直線
與橢圓C相交于P,Q兩點,
分別為線段
,
的中點,坐標原點O在以MN為直徑的圓上,且
,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】某個命題與自然數(shù)n有關,如果當(
)時該命題成立,則可得
時該命題也成立,若已知
時命題不成立,則下列說法正確的是______(填序號)
(1)時,該命題不成立;
(2)時,該命題不成立;
(3)時,該命題可能成立;
(4)時,該命題可能成立也可能不成立,但若
時命題成立,則對任意
,該命題都成立.
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【題目】下列四個命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等,側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
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【題目】如圖,已知橢圓
的離心率為
,且過點
.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)設點,
是橢圓
上異于頂點的任意兩點,直線
,
的斜率分別為
,
且
.
①求的值;
②設點關于
軸的對稱點為
,試求直線
的斜率.
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【題目】在平面直角坐標系 xOy 中,已知橢圓 C:=1(a>b>0)的離心率為
,且過點
,點P在第四象限, A為左頂點, B為上頂點, PA交y軸于點C,PB交x軸于點D.
(1) 求橢圓 C 的標準方程;
(2) 求 △PCD 面積的最大值.
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【題目】如圖,長為,寬為
的矩形紙片
中,
為邊
的中點,將
沿直線
翻轉
(
平面
),若
為線段
的中點,則在
翻轉過程中,下列說法錯誤的是( )
A. 平面
B. 異面直線與
所成角是定值
C. 三棱錐體積的最大值是
D. 一定存在某個位置,使
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