Question

【題目】拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0 ， y0）（x0≠0）作斜率為k1 ， k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1 ， y1）B（x2 ， y2）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠﹣1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足 =λ ，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，﹣1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax2（a＜0）得，焦點坐標為（0， ），準線方程為y=﹣ ．
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為y﹣y0=k1（x﹣x0），直線PB的方程為y﹣y0=k2（x﹣x0）．
點P（x0 ， y0）和點A（x1 ， y1）的坐標是方程組 的解．
將②式代入①式得ax2﹣k1x+k1x0﹣y0=0，于是x1+x0= ，故x1= ﹣x0 ③．
又點P（x0 ， y0）和點B（x2 ， y2）的坐標是方程組 的解．
將⑤式代入④式得ax2﹣k2x+k2x0﹣y0=0．于是x2+x0= ，故x2= ﹣x0 ．
由已知得，k2=﹣λk1 ， 則x2=﹣ ﹣x0 ． ⑥
設點M的坐標為（xM ， yM），由 =λ ，可得 xM= ．
將③式和⑥式代入上式得xM= =﹣x0 ，
即xM+x0=0．所以線段PM的中點在y軸上．
（Ⅲ）因為點P（1，﹣1）在拋物線y=ax2上，所以a=﹣1，拋物線方程為y=﹣x2 ．
由③式知x1=﹣k1﹣1，代入y=﹣x2 得 y1=﹣（k1+1）2 ．
將λ=1代入⑥式得 x2=k1﹣1，代入y=﹣x2得 y2=﹣（k2+1）2 ．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A（﹣k1﹣1，﹣k12﹣2k1﹣1），B（k1﹣1，﹣k12+2k1﹣1）．
于是 =（k1+2，k12+2k1）， =（2k1 ， 4k1），
=2k1（k1+2）+4k1（k12+2k1）=2（k1+2）（2+k11）．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有 ＜0．
求得k1的取值范圍是k1＜﹣2，或﹣ ＜k1＜0．
又點A的縱坐標y1滿足y1=﹣（k1+1）2 ， 故當k1＜﹣2時，y1＜﹣1；當﹣ ＜k1＜0時，﹣1＜y＜﹣ ．
即y1∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣ ）．
【解析】（Ⅰ）數(shù)形結合，依據(jù)拋物線C的標準方程寫焦點坐標和準線方程．（Ⅱ）先依據(jù)條件求出點M的橫坐標，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，證明xM+x0=0．（Ⅲ）∠PAB為鈍角時，必有 ＜0．用k1表示y1 ， 通過k1的范圍來求y1的范圍．