Question

已知圓O的方程為x²+y²=16．
（1）求過點(diǎn)M（-4，8）的圓O的切線方程；
（2）過點(diǎn)N（3，0）作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB的最大面積以及此時直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）圓心為O（0，0），半徑r=4，設(shè)過點(diǎn)M（-4，8）的切方程為y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，則

|4k+8|

k2+1

=4，解得k=-

3

4

，由此能求出過點(diǎn)M（-5，11）的圓C的切線方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，S△ABC=3

7

，當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

3|k|

k2+1

，線段AB的長度|AB|=2

16-d2

，由經(jīng)能求出△OAB的最大面積和此時直線AB的斜率．

解答：解：（1）∵圓O的方程為x²+y²=16，
∴圓心為O（0，0），半徑r=4，
設(shè)過點(diǎn)M（-4，8）的切方程為y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，（1分）
則

|4k+8|

k2+1

=4，解得k=-

3

4

，（3分）
切線方程為3x+4y-20=0（5分）
當(dāng)斜率不存在時，x=-4也符合題意．
故切線方程為：3x+4y-20=0或x=-4．（6分）
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，S△ABC=3

7

，（7分）
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

3|k|

k2+1

，（9分）
線段AB的長度|AB|=2

16-d2

，
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=d

16-d2

=

d2(16-d2)

≤

d2+(16-d2)

2

=8．（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)d²=8時取等號，此時

9k2

k2+1

 =8，解得k=±2

2

．
所以，△OAB的最大面積為8，此時直線AB的斜率為±2

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，具體涉及到圓的基本性質(zhì)和圓的切線方程、三角形最大面積的求法和直線的斜率等知識點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免不必要的錯誤．