Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤(pán)上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站概率為P_n．
（1）求P₀，P₁，P₂的值；
（2）求證：P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2），其中n∈N，2≤n≤99；
（3）求P₉₉及P₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知棋子開(kāi)始在第0站為必然事件，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為

1

2

，棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為

1

2

P_n-2；②棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為

1

2

P_n-1．得到連續(xù)三個(gè)概率之間的關(guān)系．
（3）根據(jù)第二問(wèn)得到的關(guān)于連續(xù)三個(gè)概率之間的關(guān)系，整理出數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項(xiàng)為P₁-P₀=-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)，仿寫(xiě)一系列式子，把這些式子相加，得到要求的結(jié)論．

解答：（1）解：棋子開(kāi)始在第0站為必然事件，
∴P₀=1．
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為

1

2

，
∴P₁=

1

2

．
棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：
①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為

1

4

；
②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為

1

2

．
∴P₂=

1

4

+

1

2

=

3

4

．
（2）證明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
①棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為

1

2

P_n-2；
②棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為

1

2

P_n-1．
∴P_n=

1

2

P_n-2+

1

2

P_n-1．
∴P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2）．
（3）解：由（2）知，當(dāng)1≤n≤99時(shí)，
數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項(xiàng)為P₁-P₀=-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
∴P₁-1=-

1

2

，P₂-P₁=（-

1

2

）²，P₃-P₂=（-

1

2

）³，…，P_n-P_n-1=（-

1

2

）ⁿ．
以上各式相加，得P_n-1=（-

1

2

）+（-

1

2

）²+••+（-

1

2

）ⁿ，
∴P_n=1+（-

1

2

）+（-

1

2

）²++（-

1

2

）ⁿ=

2

3

[1-（-

1

2

）ⁿ⁺¹]（n=0，1，2，，99）．
∴P₉₉=

2

3

[1-（

1

2

）¹⁰⁰]，
P₁₀₀=

1

2

P₉₈=

1

2

•

2

3

[1-（-

1

2

）⁹⁹]=

1

3

[1+（

1

2

）⁹⁹]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率公式，數(shù)列的定義，用疊加法求數(shù)列的項(xiàng)，是一個(gè)綜合題，這種問(wèn)題可以作為高考題目出現(xiàn)，解題時(shí)注意要靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)．