Question

（2012•蕪湖二模）已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，若f(x)=

a

•(

a

-

b

)，求：
（1）f（x）的最小正周期及對稱軸方程．
（2）f（x）的單調遞增區(qū)間．
（3）當x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：先由向量的運算結合三角函數公式化簡為f(x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)，
（1）由公式易求得得周期和對稱軸；
（2）轉化為函數y=sin(2x+

π

4

)的減區(qū)間；
（3）由x的范圍開始逐步求解范圍，可得答案．

解答：解：由題意可得：f(x)=

a

2-

a

•

b

=sin2x+1-(sinxcosx-

1

2

)=

1-cos2x

2

+

3

2

-

1

2

sin2x
=2-

1

2

(sin2x+cos2x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)…（4分）
（1）由上可知：T=

2π

2

=π…（5分）
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

解得：對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

(k∈z)…（7分）
（2）f（x）增區(qū)間即為sin(2x+

π

4

)的減區(qū)間，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得
f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5

8

π](k∈z)…（10分）
（3）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5

4

π
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴值域為[2-

2

2

，

5

2

]…（13分）

點評：本題為三角函數和向量的綜合應用，熟練利用公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．