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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).
          (I)試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
          (II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),求二面角C1-EF-A的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
          分析:(I)法一:幾何法:要D1E⊥平面AB1F,先確定D1E⊥平面AB1F內(nèi)的兩條相交直線,由三垂線定理易證D1E⊥AB1,同理證明D1E⊥AF即可.
          法二:代數(shù)法:建立空間直接坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量的數(shù)量積等于0,來(lái)證垂直.
          (II)法一:求二面角C1-EF-A的大小,轉(zhuǎn)化為求C1-EF-C的大小,利用三垂線定理方法:E、F都是所在線的中點(diǎn),
          過(guò)C連接AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則CH⊥EF,連接C1H,則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影.
          ∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.求解即可.
          法二:找出兩個(gè)平面的法向量,運(yùn)用空間向量數(shù)量積公式求出二面角的余弦值,再求其角.
          解答:精英家教網(wǎng)解法一:(I)連接A1B,則A1B是D1E在面ABB1A;內(nèi)的射影
          ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1
          于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.
          連接DE,則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影.
          ∴D1E⊥AF?DE⊥AF.
          ∵ABCD是正方形,E是BC的中點(diǎn).
          ∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí),DE⊥AF,
          即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.(6分)

          (II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),由(I)知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).
          又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接EF,則EF∥BD.連接AC,
          設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則CH⊥EF,連接C1H,則CH是
          C1H在底面ABCD內(nèi)的射影.
          C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.
          在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=
          1
          4
          AC=
          2
          4

          ∴tan∠C1HC=
          C1C
          CH
          =
          1
          2
          4
          =2
          2

          ∴∠C1HC=arctan2
          2
          ,從而∠AHC1=π-arctan2
          2

          故二面角C1-EF-A的大小為π-arctan2
          2


          解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
          (1)設(shè)DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
          A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,
          1
          2
          ,0)
          ,F(xiàn)(x,1,0)∴
          D1E
          =(1,-
          1
          2
          ,-1),
          AB1
          =(1,0,1),
          AF
          =(x,1,0)

          D1E
          AB1
          =1-1=0,即D1E⊥AB1精英家教網(wǎng)
          于是D1E⊥平面AB1F?D1E∪AF?
          D1E
          AF
          =0?x-
          1
          2
          =0

          即x=
          1
          2
          .故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F

          (2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),F(xiàn)是CD的中點(diǎn),又E是BC的中點(diǎn),連接EF,則EF∥BD.
          連接AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則AH⊥EF.連接C1H,則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影.
          ∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角.
          C1(1,1,1),H(
          3
          4
          ,
          3
          4
          ,0)

          HC1
          =(
          1
          4
          ,
          1
          4
          ,1),
          HA
          =(-
          3
          4
          ,-
          3
          4
          ,0)

          cos∠AHC1=
          HA
          HC1
          |
          HA
          |•|
          HC1|
          ,
          =
          -
          3
          8
          9
          8
          ×
          9
          8
          =-
          1
          3
          ,
          ∠AHC1=arccos(-
          1
          3
          )=π-arccos
          1
          3

          故二面角C1-EF-A的大小為π-arccos
          1
          3
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.空間向量計(jì)算法容易出錯(cuò).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn).
          (1)求證:DE∥平面ABC;
          (2)求證:B1C⊥平面BDE.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,一棱長(zhǎng)為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi),底面ABC平行于平面α,平面OBC與平面α的交線為l.
          (1)當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí),求平面OBC轉(zhuǎn)過(guò)角的正弦
          值.
          (2)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點(diǎn)為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P,使O1P⊥OBC?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn).
          (1)求證:DE∥平面ABC;
          (2)求證:B1C⊥平面BDE.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三(上)8月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn).
          (1)求證:DE∥平面ABC;
          (2)求證:B1C⊥平面BDE.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年安徽省合肥八中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,一棱長(zhǎng)為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi),底面ABC平行于平面α,平面OBC與平面α的交線為l.
          (1)當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí),求平面OBC轉(zhuǎn)過(guò)角的正弦
          值.
          (2)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點(diǎn)為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P,使O1P⊥OBC?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案