Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．
（I）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-A的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（I）法一：幾何法：要D₁E⊥平面AB₁F，先確定D₁E⊥平面AB₁F內(nèi)的兩條相交直線，由三垂線定理易證D₁E⊥AB₁，同理證明D₁E⊥AF即可．
法二：代數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系，運用空間向量的數(shù)量積等于0，來證垂直．
（II）法一：求二面角C₁-EF-A的大小，轉(zhuǎn)化為求C₁-EF-C的大小，利用三垂線定理方法：E、F都是所在線的中點，
過C連接AC，設(shè)AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連接C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．求解即可．
法二：找出兩個平面的法向量，運用空間向量數(shù)量積公式求出二面角的余弦值，再求其角．

解答：解法一：（I）連接A₁B，則A₁B是D₁E在面ABB₁A；內(nèi)的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF．
連接DE，則DE是D₁E在底面ABCD內(nèi)的射影．
∴D₁E⊥AF?DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中點．
∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF，
即當(dāng)點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．（6分）

（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，由（I）知點F是CD的中點．
又已知點E是BC的中點，連接EF，則EF∥BD．連接AC，
設(shè)AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連接C₁H，則CH是
C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=

1

4

AC=

2

4

，
∴tan∠C₁HC=

C1C

CH

=

1

2 4

=2

2

．
∴∠C₁HC=arctan2

2

，從而∠AHC₁=π-arctan2

2

．
故二面角C₁-EF-A的大小為π-arctan2

2

．

解法二：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
（1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E(1，

1

2

，0)，F(xiàn)（x，1，0）∴

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
∴

D1E

•

AB1

=1-1=0，即D₁E⊥AB₁
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E∪AF?

D1E

•

AF

=0?x-

1

2

=0
即x=

1

2

．故當(dāng)點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F

（2）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，F(xiàn)是CD的中點，又E是BC的中點，連接EF，則EF∥BD．
連接AC，設(shè)AC與EF交于點H，則AH⊥EF．連接C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角．
∵C1(1，1，1)，H(

3

4

，

3

4

，0)，
∵

HC1

=(

1

4

，

1

4

，1)，

HA

=(-

3

4

，-

3

4

，0)．
∴cos∠AHC1=

HA • HC1

| HA |•| HC1|

，
=

- 3 8

9 8 × 9 8

=-

1

3

，
即∠AHC1=arccos(-

1

3

)=π-arccos

1

3

．
故二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos

1

3

．

點評：本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理運算能力．空間向量計算法容易出錯．