Question

設函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x．
（1）求函數f（x）的最小正周期．
（2）若x∈[

π

12

，

7π

12

]，求函數f（x）的值域．
（3）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=

1

3

，f（

c

2

）=-

1

4

，且C為銳角，求sinA．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的余弦公式對已知函數進行化簡，然后結合正弦函數的性質可求函數f（x）的最大值，最小正周期
（2）由已知x的范圍先求出2x的范圍，進而求出sin2x的范圍，即可求解
（3）由已知f（

1

2

c）=

1

2

-

3 sinC

2

=-

1

4

可求C，然后可求A+B，而SinA=sin（C+B）=sinBcosC+sinCcosB，把已知代入即可求解

解答：解：（1）f（x）=cos（2x+

1

3

π）+sin²x
=cos2xcos

1

3

π-sin2xsin

1

3

π+

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x
=

1- 3 sin2x

2

∵sin2x∈[-1，1]
∴

1- 3

2

≤f(x)≤

1+ 3

2

所以函數f（x）的最大值為

1+ 3

2

，最小正周期為π
（2）∵x∈[

π

12

，

7π

12

]
∴2x∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin2x≤1
∴f（x）∈[

1- 3

2

，

2+ 3

4

]
（3）f（

1

2

c）=

1

2

-

3 sinC

2

=-

1

4

所以sinC=

3

2

，因為C為銳角，
所以C=

1

3

π，又因為在△ABC中，cosB=

1

3

，所以sinB=

2 2

3

所以SinA=sin（C+B）=sinBcosC+sinCcosB
=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

點評：本題主要考查了兩角和的余弦公式、二倍角公式在三角函數化簡中的應用，屬于公式的綜合應用