Question

如圖，在棱長為1的正方體中．

  

（I）在側棱上是否存在一個點P，使得直線與平面所成角的正切值為；          

  （Ⅱ）若P是側棱上一動點，在線段上是否存在一個定點，使得在平面上的射影垂直于．并證明你的結論．

Answer 1

（1）當PC＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為．（2）點Q應當是A₁C₁的中點O₁，

解析:

解法一：（Ⅰ）如圖,設PC=m,連AC，

設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點G，,

連結OG，因為PC∥平面，

平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，

所以，OG＝PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB₁，

所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角．

在Rt△AOG中，tanAGO＝， 即m＝．

所以，當PC＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為． …………………6分

   （Ⅱ）可以推測，點Q應當是A₁C₁的中點O₁，因為D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．那么根據(jù)三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直． …………………12分

解法二：(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，

B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以          

又由知，為平面的一個法向量．

設AP與平面所成的角為，

則。

依題意有

解得．

故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為． ……………6分

   （Ⅱ）若在A₁C₁上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，

則Q(x，1－，1)，。

依題意，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，

等價于D₁Q⊥AP

即Q為A₁C₁的中點時，滿足題設要求． …………………12分