Question

設函數(shù)．
（1）當m=1，x＞1時，求證：f（x）＞0；
（2）若對于，均有f（x）＜2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=1時，先求出函數(shù)的導函數(shù)，對?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，從而f（x）＞f（1）=0；
（2）對任意x∈[1，]，則f′（x）＜2 恒成立等價于，然后討論m的正負利用導數(shù)研究函數(shù)在上的最大值即可求出m的范圍．
解答：解：（1）當m=1時，f（x）=x-，
 對?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，∴當x＞1時，f（x）＞f（1）=0．
 （2）對任意x∈[1，]，∴f′（x）＜2 恒成立等價于
當m=0時，∵，∴f（x）在[1，]上為單調(diào)減函數(shù)．∴f（x）_max=f（1）=0＜2
當m＜0時，對任意x∈[1，]，，∴成立．
當m＞0時，
（a）當4-4m²≤0，即m≥1時，f′（x）＞0對任意的恒成立，
∴f（x）在[1，]上是增函數(shù)．∴，
 由，解得．∴1≤m＜．
（b）當4-4m²＞0，即0＜m＜1時，令f′（x）=0，得，令，得
1）當0＜m≤時，，f（x）在[1，]上是減函數(shù)，∴f（x）_max=f（1）=0＜2．
2）當＜m＜1時，，則f（x）在（1，x₂）上是減函數(shù)，∴f（x）在上是增函數(shù)，
∴當x=1或x=時，f（x）取最大值．∴，即，∴＜m＜1．
 綜上，m的取值范圍是．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最值，同時考查了函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題，注意分類討論，計算量比較大．