Question

如圖所示，已知直線的斜率為且過(guò)點(diǎn),拋物線, 直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求的最小值；

 (2)求的取值范圍；

（3）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn), 若存在，求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為， 過(guò)作于，過(guò)作于，

（1）由拋物線定義知

(折線段大于垂線段)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取等號(hào).由題意知,即

的最小值是8………...4分

(2) ……...5分

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，

顯然，，設(shè)，，由以為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)

原點(diǎn)有………… ……………………...①……9分

把代人得由韋達(dá)定理　 ………………….………………②

又 　　　….③

②代人③得　　　　　　　　　 　　　 ……… .④

②④代人①得…　　　　　　　　　　 …12分

動(dòng)直線方程為必過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)不存在時(shí)，直線交拋物線于,仍然有，　　　　　 綜上：存在點(diǎn)滿足條件……………15分