Question

在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°．

(Ⅰ)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在四棱錐P－ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO＝60° 　　在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝ 　　以O為坐標原點，射線OB、OC、 　　OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系 　　在Rt△AOB中OA＝，于是，點A、B、D、P的坐標分別是A(0，－，0)，B(1，0，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)． 　　E是PB的中點，則E(，0，) 　　于是＝(，0，)，＝(0，，) 　　設的夾角為，有cos＝ 　　∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為； 　　(2)計算平面APB的一個法向量為， 　　而平面PBD的一個法向量為， 　　故二面角A－PB－D的余弦值為．