Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（　　）

• A．y=-

  1

  x

• B．y=-log

  1

  3

  x
• C．y=2^x
• D．y=x³+x

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析選項，對于A，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得y=-

1

x

在其定義域上不是增函數(shù)，不合題意；對于B，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得y=-log

1

3

x不是奇函數(shù)，不合題意，對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，y=2^x不是奇函數(shù)，不合題意，對于D，f（-x）=-x-x³=-f（x），由奇函數(shù)的定義，可得f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知y=x+x³是增函數(shù)，符合題意；即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，y=-

1

x

是奇函數(shù)，在其定義域上不是增函數(shù)，不合題意；
對于B，y=-log

1

3

x的定義域為{x|x＞0}，不是奇函數(shù)，不合題意，
對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，y=2^x是增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，不合題意，
對于D，由f（-x）=-x-x³=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)．又由y=x和y=x³都是增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性知y=x+x³是增函數(shù)，符合題意；
故選D．

點評：本題主要考查常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及判斷函數(shù)奇偶性的方法，對于基本函數(shù)與常見的函數(shù)，應(yīng)牢記其奇偶性與單調(diào)性．