Question

已知函數f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且x＞0時恒有f（x）＞0
（1）求證：f（x）在R上是增函數
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對?x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）及x＞0時恒有f（x）＞0可得f（x₂）與f（x₁）的大小關系，由函數單調性即可證明；
（2）f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0⇒f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），利用函數單調性可化為（k+1）•3^x-9^x-2＜0恒成立，分離出參數k后轉化為求函數最值即可．

解答：解：（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又x＞0時恒有f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上為增函數；
（2）令m=n=0，則由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0⇒f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），
由（1）知f（x）為增函數，所以（k•3^x）+（3^x-9^x-2）＜0，即（k+1）•3^x-9^x-2＜0，也即（k+1）＜3x+

2

3x

，
所以f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對?x∈R恒成立，等價于（k+1）＜3x+

2

3x

恒成立，
又3x+

2

3x

≥2

3x• 2 3x

=2

2

，當且僅當3x=

2

3x

，即x=log3

2

時取得等號，
所以k+1＜2

2

，即k＜2

2

-1，
故實數k的取值范圍為：k＜2

2

-1．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查抽象函數單調性的判斷，考查學生對問題的轉化能力，恒成立問題經常轉化為函數最值問題解決．