Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）記λ(n)=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，求證：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1＞0，可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）問題等價于|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三個零點；只需[f（x）]_min=t-1，可得最小值f（0）=t-1，進而可得t值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；可得e^x＞1-x²+x，進而可得當n≥2，n∈N^*時，e

1

n

＞1-

1

n2

+

1

n

＞1-

1

n(n-1)

+

1

n

=1-(

1

n-1

-

1

n

)+

1

n

，疊加得：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)．

解答：解：（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三個零點，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三個零點；
由f′（x）=e^x+2x-1=0得：x=0
當x＜0時，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
當x＞0時，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
所以，只需[f（x）]_min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
f（x）＞f（0）∴e^x+x²-x＞1，∴e^x＞1-x²+x
當n≥2，n∈N^*時，e

1

n

＞1-

1

n2

+

1

n

＞1-

1

n(n-1)

+

1

n

=1-(

1

n-1

-

1

n

)+

1

n

，又e＞2
疊加得：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)，
∴當n≥2，n∈N^*時，e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)成立．…（15分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及不等式證明的放縮法，屬中檔題．