Question

已知拋物線y²=-16x的焦點(diǎn)為F₁，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F₂，在直線l：x+y-8=0上找一點(diǎn)M，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M且長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件可知：F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），設(shè)F₂（4，0）關(guān)于直線l：x+y-8=0的對稱點(diǎn)為F₂′（x₀，y₀），根據(jù)對稱的有關(guān)知識可得F₂′（8，4）．連接F₁F₂′交直線L于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M．此時|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且求出最小值，進(jìn)而得到2a=4

10

∴a=2

10

，即可求出橢圓的方程．

解答：解：由題設(shè)條件可知：F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
設(shè)F₂（4，0）關(guān)于直線l：x+y-8=0的對稱點(diǎn)為F₂′（x₀，y₀），
則有

y0 x0-4 =1 x0+4 2 + y0 2 -8=0

⇒

x0=8 y0=4

，所以F₂′（8，4）．
連接F₁F₂′交直線L于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M．
此時|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且其最小值等于|F1F2′|=

(8+4)2+42

=4

10

設(shè)所求橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
所以橢圓長軸長的最小值為4

10

，即2a=4

10

∴a=2

10

，
又因?yàn)閏=4，所以b²=a²-c²=40-16=24
所以所求橢圓方程為：

x2

40

+

y2

24

=1

點(diǎn)評：本題主要考查利用對稱性解決最值問題，以及考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．