Question

某投資公司年初用萬元購置了一套生產(chǎn)設備并即刻生產(chǎn)產(chǎn)品，已知與生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費用第一年需要支出萬元，第二年需要支出萬元，第三年需要支出萬元，……，每年都比上一年增加支出萬元，而每年的生產(chǎn)收入都為萬元．假設這套生產(chǎn)設備投入使用年，，生產(chǎn)成本等于生產(chǎn)設備購置費與這年生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費用的和，生產(chǎn)總利潤等于這年的生產(chǎn)收入與生產(chǎn)成本的差. 請你根據(jù)這些信息解決下列問題：

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若干年后，該投資公司對這套生產(chǎn)設備有兩個處理方案：

方案一：當年平均生產(chǎn)利潤取得最大值時，以萬元的價格出售該套設備；

方案二：當生產(chǎn)總利潤取得最大值時，以萬元的價格出售該套設備． 你認為哪個方案更合算？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）7; （Ⅱ）從投資收益的角度看，方案一比方案二更合算.

【解析】

試題分析：1.由于文字敘述較長，很多考生對題意不甚了了，所建立的函數(shù)模型也是錯誤百出，從而導致本題的得分是很低的.2.第（Ⅰ）問中，很多考生在求的時候，都把等差數(shù)列的前項和錯誤理解為第項了，即.3.第（Ⅱ）問中，一些考生不理解“年平均生產(chǎn)利潤取得最大值”、“生產(chǎn)總利潤取得最大值”的含義，從而無法建立模型.4. 第（Ⅱ）問中，所建立的模型是對的，并且也求出了分別等于7和11，但之后就不知道應該選擇哪一個量作為標準，來判斷哪個方案更好.

試題解析：（Ⅰ）由題意知該公司這年需要支出與生產(chǎn)產(chǎn)品相關(guān)的各種配套費用是以為首項，為公差的等差數(shù)列的前項和．

∴.

由得，解得.

∵，∴，，，……，.

∴的解集為.

（Ⅱ）(1) 由已知得年平均生產(chǎn)利潤為.

∵,

 “”成立，即,

∴當時，年平均生產(chǎn)利潤取得最大值，若執(zhí)行方案一，總收益為（萬元）.

(2) ∵，，

∴當時，生產(chǎn)總利潤取得最大值，若執(zhí)行方案二，總收益為

（萬元）.

∴無論執(zhí)行方案一還是方案二，總收益都為萬元.

∵，∴從投資收益的角度看，方案一比方案二更合算.

注：第（Ⅱ）問答案不唯一，只要言之有理即可.

考點：閱讀和建模能力，運用函數(shù)、數(shù)列、均值不等式等知識和方法解決實際問題能力.