Question

如圖，直棱柱ABC-中，D，E分別是AB，BB1的中點，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）證明： //平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）連結，交于點O，連結DO，則O為的中點，因為D為AB的中點，所以

OD∥，又因為OD平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）由=AC=CB=AB可設：AB=，則=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因為直棱柱，所以以點C為坐標原點，分別以直線CA、CB、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，

則、、、，，，，，設平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則，所以，所以二面角D--E的正弦值為.

本題第（Ⅰ）問，證明直線與平面平行,主要應用線面平行的判定定理，一般情況下，遇到中點想中位線的思想要用上，同時用上側面為平行四邊形的條件；第（Ⅱ）問，求二面角的大小，若圖形中容易建立空間直角坐標系，則就求兩個半平面的法向量，從需得出結果.對第（Ⅰ）問，證明線面平行時,容易漏掉條件；對第（Ⅱ）問，二面角的大小與兩個法向量夾角相等或互補的關系，一部分同學容易得出它們相等.

【考點定位】本小題考查空間中直線與平面平行等位置關系的證明、二面角的求解，考查同學們的邏輯推理能力、空間想象能力，考查分析問題以及解決問題的能力.