Question

如圖所示，ABCD是矩形，四個頂點在平面α內(nèi)的射影分別為A′、B′、C′、D′,直線A′B′與C′D′不重合.

（1）求證：A′B′C′D′是一平行四邊形；

（2）在什么條件下，A′B′C′D′也是矩形？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明：過B作BE∥A′B′,過C作CF∥C′D′.?

∵AA′⊥α,BB′⊥α,∴AA′∥BB′.?

∴A′B′BE為平行四邊形.?

∴A′B′BE.

同理，C′D′CF.?

∵AA′⊥A′B′,∴BE⊥AA′.?

同理，CF⊥DD′.?

∵AA′∥DD′，BB′∥CC′，?

∴∠A′AB=∠D′DC.?

∵AB=OC，∴△ABE≌△DCF.?

∴BE=CF.∴A′B′=C′D′.?

∵CC′∥BB′,∴面CDD′C′∥面ABB′A′.?

∴A′B′∥D′C′.?

∵A′B′=C′D′,∴A′B′C′D′為平行四邊形.?

（2）解析：∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC.?

∵AA′⊥面α,BB′⊥面α,?

∴A′B′為AB在α上的射影.?

∵A′B′C′D′也為矩形，?

∴A′B′⊥B′C′.∴AB⊥B′C′.?

①若BC∥B′C′,則成立.?

②若BC不平行于B′C′，則AB⊥面BCC′B′.?

又面BCC′B′⊥面α,ABα，∴AB∥α時成立.?

∴當ABCD中至少有一組對邊平行于α時，A′B′C′D′也為矩形.