Question

設(shè)拋物線C：y²=2px，AB是過焦點(diǎn)的弦，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），l為準(zhǔn)線，給出以下結(jié)論：
①4x₁x₂=p²；②以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相離；③；  ④設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)N，則FN平分∠ANB；⑤過準(zhǔn)線l上任一點(diǎn)M作拋物線的切線，則切點(diǎn)的連線必過焦點(diǎn)．則以上結(jié)論正確的是    將正確結(jié)論的序號填上去）

Answer 1

【答案】分析：①由題意可設(shè)直線AB的方程為x=ky+p，聯(lián)立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求
②分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q，由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD==，從而可判斷
③由定義可得AF=AP=，BF=BQ=，結(jié)合①中的方程的根與系數(shù)關(guān)系可求
④要證FN平分∠ANB，即∠ANF=∠BNF，根據(jù)題意只要證明K_AN=-K_BN，即可
⑤設(shè)出切線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求過切點(diǎn)的直線方程，進(jìn)而可判斷過 焦點(diǎn)
解答：解：由題意可設(shè)直線AB的方程為x=ky+p
聯(lián)立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*）
則，y₁+y₂=2pk，

∴=
∴  ①正確
分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q
由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ
設(shè)AB的中點(diǎn)為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD===
即所作圓的圓心C到準(zhǔn)線的距離與圓的半徑相等，則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，②錯(cuò)誤
由于AF=AP=，BF=BQ=
由方程（*）可得，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
===
===③錯(cuò)誤
由題意可知N（），，
∴K_AN+K_BN==
===0
∴K_AN=-K_BN，則可得∠ANF=∠BNF即FN平分∠ANB，④正確
設(shè)點(diǎn)M（-），切點(diǎn)分別為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），從而可得切線的方程為y-m=k（x+）
聯(lián)立方程可得ky²-2py+kp²+2pm=0（*）
由題意可得，△=4p²-4k（kp²+2pm）=0即pk²+2mk-p=0
則k₁k₂=-1（k₁，k₂分別為切線ME，MF的斜率）
對應(yīng)方程（*）可得，
即，F(xiàn)
∴===-
∴過切點(diǎn)EF的直線方程為y-
即=，即直線EF過焦點(diǎn)（），⑤正確
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用拋物線的定義進(jìn)行解題，屬于綜合性試題