Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ） ， 在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且極大值， 極小值可得在無(wú)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴． ，

∴在處切線為，即為．

（Ⅱ）令，解出，令，解出．

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅲ） ，

．

令，解出或，令，解出．

∴在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

極大值， 極小值，

∵在時(shí)， 極大值小于零，

在時(shí)， 極小值小于零．在， 單調(diào)遞增，說(shuō)明在無(wú)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，∴有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．