Question

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)m、n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當(dāng)x＞0時，有f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）若f（4）=5，解關(guān)于x的不等式f（x²+x-4）＜3；
（3）若關(guān)于x的不等式f（ax-2）+f（x-x²）＜2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明，將f（x₂）變形成f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）將3轉(zhuǎn)化成f（2），然后利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，解不等式即可；
（3）將f（ax-2）+f（x-x²）＜2轉(zhuǎn)化成f（ax-2）+f（x-x²）-1＜1，然后利用f（m+n）=f（m）+f（n）-1可得f（ax-2+x-x²）＜f（0），最后根據(jù)單調(diào)性建立不等關(guān)系，從而求出所求．

解答：（1）證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時，有f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）∵f（4）=5=f（2）+f（2）-1，
∴f（2）=3，
∴f（x²+x-4）＜3即f（x²+x-4）＜f（2），
∵f（x）在R上為增函數(shù)，
∴x²+x-4＜2，
∴-3＜x＜2；
（3）令m=n=0，
∴f（0）=2f（0）-1，
∴f（0）=1，
∵f（ax-2）+f（x-x²）＜2即 f（ax-2）+f（x-x²）-1＜1，
∴f（ax-2+x-x²）＜f（0），
由①知 ax-2+x-x²＜0恒成立，
∴x²-（a+1）x+2＞0恒成立，
∴△=（a+1）²-4×2＜0，
∴-2

2

-1＜a＜2

2

-1．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)，及其函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法，著重考查了函數(shù)的簡單性質(zhì)和函數(shù)恒成立問題等知識點，屬于中檔題．