Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（I）求f(

π

6

)的值及f（x）的最小正周期；
（II）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求f(

π

6

)的值及f（x）的最小正周期；
（II）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（I）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
所以f(

π

6

)=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2
函數(shù)的周期為：π．
（II）由x∈[0，

π

2

]可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π
所以當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為2，
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為：-1．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)周期、最值的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．