【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，證明:
；
（2）若
只有一個極值點
，求
的取值范圍，并證明:
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）構(gòu)造函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)易得
，即證得結(jié)論，（2）研究導(dǎo)函數(shù)
零點，先求
導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)
零點，根據(jù)a的正負分類討論：當(dāng)
時，單調(diào)，再根據(jù)零點存在定理得有且僅有一個零點；當(dāng)
時，先增后減，再根據(jù)零點存在定理得有且僅有兩個零點；最后研究極值點函數(shù)值范圍：繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定取值范圍.
試題解析：（1）∵
，∴要證
，即證
.
設(shè)
，
令
得
，
且
，
單調(diào)遞増；
，
單調(diào)遞減，
∴
，
即成立，也即
.
（2）設(shè)，
.
①當(dāng)時，令
得;
.
，
單調(diào)遞増；
，
單調(diào)遞減.
若
，
恒成立，
無極值；
若
，即
，∴
.
∵
，∴由根的存在性定理知，在
上必有一根.
∵
，下證：當(dāng)，
.
令
，∴
.
當(dāng)
時，
單調(diào)遞増；當(dāng)
時，
單調(diào)遞減，
∴當(dāng)
時，
，
∴當(dāng)
時，
，即
，
由根的存在性定理知，在
上必有一根.
此時在
上有兩個極值點，故不符合題意.
②當(dāng)時，
恒成立，單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
，下證：當(dāng)時，
.
令
，∵
在
上單調(diào)遞減，∴
，
∴當(dāng)時，
，
∴由根的存在性定理知，在
上必有一根.
即
有唯一的零點
，只有一個極值點，且
，滿足題意.
∴.
由題知
，又
，∴
，
∴
.
設(shè)
，
，
當(dāng)
，
單調(diào)遞減，
∴
，∴
成立.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料能獲得利潤10000元，需要的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽8噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料能獲得利潤5000元，需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現(xiàn)庫存有磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種肥料．問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知f（x）=sin（2014x+ 
）+cos（2014x﹣ 
）的最大值為A，若存在實數(shù)x1 ， x2 ， 使得對任意實數(shù)x總有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則A|x1﹣x2|的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ 
（1）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對所有的a≥ 
，m∈（0，1），n∈（1，+∞），求f（n）﹣f（m）的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】x、y滿足約束條件 
，若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（ ）
A.
或﹣1
B.2或
C.2或1
D.2或﹣1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若對于
，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若對于
，
恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：
，
，
，
（I）從中任意拿取
張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）= 
圖象過點（﹣1，2），且在該點處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于函數(shù)
，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)
，滿足
，則稱
為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù)
，試判斷
是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
(2)若
是定義在區(qū)間
上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)
的取值范圍；
(3)若
為定義域
上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)
的取值范圍；
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