Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；
（3）設(shè)二面角A-BE-D的平面角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）以C為原點(diǎn)，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求出向量

QE

的坐標(biāo)，易得

CP

=2

QE

，即PC∥QE，結(jié)合已知中PC⊥平面ABCD，由線面垂直的第二判定定理可得QP⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EBD⊥平面ABCD；
（2）分別求出直線PB與直線DE的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出直線PB與直線DE所成的角的余弦值；
（3）分別求出平面ABE與平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

解答：解：由PC⊥平面ABCD，所以以C為原點(diǎn)，
CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠ABC=120°，
PC=a，E是PA的中點(diǎn)．所以C (0， 0， 0)，  A (0，

3

a， 0)，B (-

1

2

a，

3

2

a， 0)，  D (

1

2

a，

3

2

a， 0)，P（0，0，a），
∵E是PA的中點(diǎn)，∴E (0， 

3

2

a， 

1

2

a)．（2分）
（1）設(shè)AC和BD交于點(diǎn)Q，則Q（0，

3

2

a，0），
∴

QE

=（0，0，

1

2

a，），

CP

=2

QE

，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；（4分）
（2）∵

PB

•

QE

=（-

1

2

a，

3

2

a，-a）•（-

1

2

a，0，

1

2

a，）=-

1

4

a²，
|

PB

|=

2

a，|

QE

|=

2

2

a，
∴cos＜

PB

，

QE

＞=

- 1 4 a2

2 × 2 2 a2

=-

1

4

；-（4分）
（3）設(shè)平面ABE的法向量為p=（x，y，z），可得p=（-

3

，1，

3

），
又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又

CA

=（0，

3

a，0），
∴取平面BDE的法向量q=（0，

3

，0），
∴p•q=

3

，|p|=

7

，|q|=

3

，
∴cosq=

7

7

．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)二面角的平面角及求示，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量及平面的法向量，將空間直線與平面的平行或垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．