Question

已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，且f(x)在區(qū)間[－1，4]上的最大值是12．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．

　　∴f(x)在區(qū)間[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a．

　　由已知，得6a＝12．∴a＝2．

　　∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)．

　　(2)方程f(x)＋＝0等價(jià)于方程2x³－10x²＋37＝0．

　　設(shè)h(x)＝2x³－10x²＋37，

　　則(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)．

　　當(dāng)x∈(0，)時(shí)，(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；

　　當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，(x)＞0，h(x)是增函數(shù)．

　　∵h(yuǎn)(3)＝1＞0，h()＝，h(4)＝5＞0，

　　∴方程h(x)＝0在區(qū)間(3，)，(，4)內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0，3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根．

　　∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．