Question

【題目】在四棱錐中，已知，，，，三角形是邊長(zhǎng)為2的正三角形，當(dāng)四棱錐的外接球的體積取得最小值時(shí)，則以下判斷正確的是（ ）

A.四棱錐的體積取得最小值為，外接球的球心必在四棱錐內(nèi)

B.四棱錐的體積取得最小值為，外接球的球心可在四棱錐內(nèi)或外

C.四棱錐的體積為，外接球的球心必在四棱錐內(nèi)

D.四棱錐的體積為，外接球的球心可在四棱錐內(nèi)或外

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)，得到，，說明四邊形有一個(gè)外接圓，且圓心為的中點(diǎn)設(shè)為，設(shè)外接球的球心為，利用截面圓的性質(zhì)，則平面，設(shè)，同理過作平面的垂線，垂足為，為正三角形的外心，設(shè)，外接球的半徑為，則有，然后根據(jù)當(dāng)四棱錐外接球的體積取得最小時(shí)，外接球的半徑最小求解.

當(dāng)四棱錐外接球的體積取得最小時(shí)，外接球的半徑最小.

由已知得，，所以，，

所以四邊形有一個(gè)外接圓，且圓心為的中點(diǎn)設(shè)為，

設(shè)外接球的球心為，則平面，設(shè)，

過作平面的垂線，垂足為，則為三角形的外心，

設(shè)，外接球的半徑為，則，所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，外接球的體積取得最小值，此時(shí)平面平面，

可得四棱錐的體積為，且外接球的球心必在四棱錐內(nèi).

故選：C