Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大�。�

Answer 1

分析：（解法一）
（Ⅰ）由題意取AC的中點(diǎn)O，連接OS則SO⊥平面ABC，AC⊥SO；再由三垂線定理得AC⊥SB；
（Ⅱ）取OB的中點(diǎn)D，由SO⊥平面ABC和DN∥SO，得DN⊥平面ABC，作NE⊥CM交CM于E，
連接DE，再證DE⊥CM，則∠NED即為所求，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求

AC

•

SB

=0得AC⊥SB；
（Ⅱ）因SO⊥平面ABC，則

SO

為平面ABC的法向量，求平面CMN的一個(gè)法向量

n

，再求兩向量
夾角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．故SB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，
∴AC⊥SB．（6分）
（Ⅱ） 取OB的中點(diǎn)D，作NE⊥CM交CM于E，連接DE，ND．
在△SOB中，N，D分別為SB，OB的中點(diǎn)，
∴DN∥SO．
∵SO⊥平面ABC，
∴DN⊥平面ABC，∴DN⊥CM，∵NE⊥CM，∴CM⊥平面DNE
∴DE⊥CM．
故∠NED為二面角N-CM-B的平面角．（9分）
設(shè)OB與CM交于G，則G為△ABC的中心，
∴GD=

1

4

GB．
又∵DE⊥CM，BM⊥CM，

∴DE∥MB，∴DE=

1

4

MB=

1

2

．
在△SAC中可得SO=2

2

，在△SOB中，ND=

1

2

SO=

2

，
在Rt△NDE中，tanNED=

2

1 2

=2

2

．
∴∠NED=arctan2

2

．∴二面角N-CM-B的大小為arctan2

2

．（14分）
（解法二）：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C(-2，0，0)，S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)．
∴

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，-2

2

)．
則

AC

•

SB

=0，
∴AC⊥SB．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，

CM •n=3x+ 3 y=0 MN •n=-x+ 2 z=0

取z=1，得x=

2

，y=-

6

，∴n=(

2

，-

6，

1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)為平面ABC的法向量，
∴cos＜n•

OS

＞=

n• OS

|n|•| OS |

=

1

3

．
∴二面角N-CM-B的大小為arccos

1

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題為一題多解的情況，一種是向量法，需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積來(lái)證垂直，求平面的法向量來(lái)求二面角的余弦值；另一種用垂直關(guān)系的定義和定理，三垂線定理來(lái)證明線線垂直、線面垂直，作出二面角O-AC-O₁的平面角．向量法要簡(jiǎn)單些．