Question

數(shù)列的首項(xiàng)為（），前項(xiàng)和為，且（）．設(shè)，（）．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試求三個(gè)正數(shù)，，的一組值，使得為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），，．

【解析】

試題分析：（1）要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知的是，這種條件的應(yīng)用一般是把用代換得，然后兩式相減就可把的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，但要注意這個(gè)遞推關(guān)系中一般不含有，必須另外說(shuō)明與的關(guān)系；（2）時(shí)，，，那么不等式就是，請(qǐng)注意去絕對(duì)值符號(hào)的方法是兩邊平方，即等價(jià)于，這個(gè)二次的不等式對(duì)恒成立，變形為，然后我們分析此不等式發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，不可能恒成立；時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030104454665062227/SYS201403010447436761331275_DA.files/image026.png">，可分類（）分別求出的范圍，最后取其交集即得；（3）考查同學(xué)們的計(jì)算能力，方法是一步步求出結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，，

，最后用分組求和法求出，

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征一定有，再加上三個(gè)正數(shù)，，成等差數(shù)列，可求出，，，這里考的就是計(jì)算，小心計(jì)算．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030104454665062227/SYS201403010447436761331275_DA.files/image007.png">  ①

當(dāng)時(shí)，  ②，

①—②得，（），                      （2分）

又由，得，                     （1分）

所以，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以（）．  （1分）

（2）當(dāng)時(shí)，，，，              （1分）

由，得，  （*）     （1分）

當(dāng)時(shí)，時(shí)，（*）不成立；

當(dāng)時(shí)，（*）等價(jià)于  （**）

時(shí)，（**）成立．

時(shí)，有，即恒成立，所以．

時(shí)，有，．時(shí)，有，．    （3分）

綜上，的取值范圍是．                     （1分）

（3）當(dāng)時(shí)，，，    （1分）

，    （2分）

所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，所以    （2分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030104454665062227/SYS201403010447436761331275_DA.files/image028.png">，，成等差數(shù)列，所以，即，

解得．                              （1分）

從而，，．                      （1分）

所以，當(dāng)，，時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列．  （1分）

考點(diǎn)：(1)等比數(shù)列的定義；（2）數(shù)列與不等式恒成立問(wèn)題；（3）分組求和，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．