Question

已知f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為（-1，

1

3

），且對任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．?dāng)?shù)列a_n滿足a₁=1，3a_n+1=1-

1

f′(an)

（n∈N^×）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

，求數(shù)列b_n的通項公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中數(shù)列b_n的前n項和為S_n，求數(shù)列S_n•cos（b_nπ）的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為( -1，  

1

3

 )，”可得到f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，從而有f（1）=0，解得a=

3

2

得到函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x+1，則3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，兩邊取倒數(shù)，有

1

an+1

=3+

1

an

由等差數(shù)列定義求解．
（Ⅲ）化簡得S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴以有T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．再分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況化簡即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)（a＞0），
即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2
令α=

π

2

，β=π，則sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即a+

2a

3

-

a

3

-2=0，得a=

3

2

．
∴f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，則3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，兩邊取倒數(shù)，得

1

an+1

=3+

1

an

，即b_n+1=3+b_n．
∴數(shù)列b_n是首項為b1=

1

a1

=1，公差為3的等差數(shù)列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=

n 2 (b2+bn)

2

=

n

4

(4+3n-2)=

3n2+2n

4

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時Tn=Tn-1-Sn=

3 (n-1)2+2 (n-1)

4

-

n (1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

綜上，Tn=

-3n2-2n+1 4   ( n為奇數(shù) ) 3n2+2n 4   ( n為偶數(shù) ).

（13分）

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了二次函數(shù)求解析式，構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項及前n項和等問題，屬于中檔題．