Question

已知P為橢圓

x2

4

+y2=1和雙曲線x2-

y2

2

=1的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，那么∠F₁PF₂的余弦值為______．

Answer 1

∵橢圓

x2

4

+y2=1，∴橢圓中c=

3

，
∵雙曲線x2-

y2

2

=1，∴雙曲線中c=

3

，∴橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，
∵P為橢圓

x2

4

+y2=1和雙曲線x2-

y2

2

=1的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2

3

在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

32+12-(2 3 )2

2×3×1

=-

1

3

故答案為-

1

3