Question

某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為k．輪船的最大速度為15海里/小時(shí)．當(dāng)船速為10海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí)150元．假定運(yùn)行過程中輪船以速度v勻速航行．
（1）求k的值；
（2）求該輪船航行100海里的總費(fèi)用W（燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)比例系數(shù)為k，得燃料費(fèi)為，將v=10時(shí)W₁=96代入即可算出k的值；
（2）算出航行100海里的時(shí)間為小時(shí)，可燃料費(fèi)為96v，其余航行運(yùn)作費(fèi)用為元，由此可得航行100海里的總費(fèi)用為，再運(yùn)用基本不等式即可算出當(dāng)且僅當(dāng)v=12.5時(shí)，總費(fèi)用W的最小值為2400（元）．
解答：解：（1）由題意，設(shè)燃料費(fèi)為，
∵當(dāng)船速為10海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，
∴當(dāng)v=10時(shí)，W₁=96，可得96=k×10²，解之得k=0.96．
（2）∵其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí)150元．
∴航行100海里的時(shí)間為小時(shí)，可得其余航行運(yùn)作費(fèi)用為=元
因此，航行100海里的總費(fèi)用為
=（0＜v≤15）
∵，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
航行100海里的總費(fèi)用最小，且這個(gè)最小值為2400元．
答：（1）k值為0.96，（2）該輪船航行100海里的總費(fèi)用W的最小值為2400（元）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)應(yīng)用題，求航行所需費(fèi)用的最小值，著重考查應(yīng)用題的轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)用基本不等式求最值和基本不等式取等號(hào)的條件等知識(shí)，屬于中檔題．