Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，AB=2，BC=3，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

PD

•

PA

取最小值時(shí)，tan∠DPA的值是（　　）

• A．

  5

  24

• B．

  6

  25

• C．

  17

  25

• D．

  8

  15

Answer 1

分析：由余弦定理可得 1=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，即

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

，利用基本不等式可得當(dāng)

PD

•

PA

最小時(shí)，點(diǎn)P是AD的中垂線和BC的交點(diǎn)，tan

∠APD

2

=

1 2

2

=

1

4

，利用倍角的正切公式求得tan∠APD 的值．

解答：解：∵

PD

•

PA

=PD•PA cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，
∴

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

≥

2AP•DP-1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)AP=DP 時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)

PD

•

PA

最小時(shí)，點(diǎn)P是AD的中垂線和BC的交點(diǎn)，tan

∠APD

2

=

1 2

2

=

1

4

，
∴tan∠APD=

2tan ∠APD 2

1-tan2 ∠APD 2

=

2 4

1-( 1 4 )2

=

8

15

，
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的應(yīng)用，求出tan

∠APD

2

 的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．