Question

某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的產(chǎn)品，每種型號的產(chǎn)品在出廠時按質(zhì)量分為一等品和二等品．為便于掌握生產(chǎn)狀況，質(zhì)檢時將產(chǎn)品分為每20件一組，分別記錄每組一等品的件數(shù)．現(xiàn)隨機抽取了5組的質(zhì)檢記錄，其一等品數(shù)莖葉圖如圖所示：
（1）試根據(jù)莖葉圖所提供的數(shù)據(jù)，分別計算A、B兩種產(chǎn)品為一等品的概率P_A、P_B；
（2）已知每件產(chǎn)品的利潤如表一所示，用ξ、η分別表示一件A、B型產(chǎn)品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及數(shù)學(xué)期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需用的配件數(shù)和成本資金如表二所示，該廠有配件30件，可用資金40萬元，設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的數(shù)量，在（2）的條件下，求x、y為何值時，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）
表一

等級 利潤 產(chǎn)品	一等品	二等品
A型	4（萬元）	3（萬元）
B型	3（萬元）	2（萬元）

表二

項目 用量 產(chǎn)品	配件（件）	資金（萬元）
A型	6	4
B型	2	8

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的產(chǎn)品的總數(shù)和由莖葉圖知每一種一等品的件數(shù)，得到A、B兩種產(chǎn)品為一等品的概率．
（2）根據(jù)表一所給的利潤，結(jié)合莖葉圖求出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值．
（3）根據(jù)題意寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，作直線l：3.68x+2.71y=0，將向l右上方平移至l₁位置時，
即直線經(jīng)過可行域上的點M時，z=取最大值．得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)所給的產(chǎn)品的總數(shù)和由莖葉圖知每一種一等品的件數(shù)，
得到A、B兩種產(chǎn)品為一等品的概率，
PA=

9+12+13+17+17

100

=0.68；
PB=

8+16+14+13+20

100

=0.71．
（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴隨機變量ξ、η的分布列

ξ	4	3
P	0.68	0.32

η	3	2
P	0.71	0.29

∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由題設(shè)知

6x+2y≤30 4x+8y≤40 x≥0 y≥0

，目標(biāo)函數(shù)為z=xEξ+yEη=3.68x+2.71y，
作出可行域如圖所示
作直線l：3.68x+2.71y=0，將向l右上方平移至l₁位置時，
即直線經(jīng)過可行域上的點M時，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程組

6x+2y=30 4x+8y=40

，得x=4，y=3，
即x=4，y=3時，z取最大值，最大值是22.85

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查線性規(guī)劃的實際應(yīng)用，考查讀莖葉圖和表格，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，本題是一個基礎(chǔ)題．