Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，C₁D₁的中點，則A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  1

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：由正方體的幾何特征，易得EF⊥平面A₁B₁C，則∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正弦值．

解答：解：連接C₁B，∵E、F分別為AB與C₁D₁的中點，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB為平行四邊形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四邊形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在線段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，sin∠B₁A₁C=

B1C

CB1

=

6

3

．
∴A₁B₁與平面A₁ECF所成角的弦值為

6

3

．
故選B

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中證得∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解答本題的關鍵．